Основные цели изучения главы V — развитие комбинаторного мышления учащихся; знакомство с теорией соединений (как самостоятельным разделом математики и в дальнейшем — с аппаратом решения ряда вероятностных задач); обоснование формулы бинома Ньютона (с которой учащиеся лишь знакомились в курсе 10 класса).
В Большой советской энциклопедии комбинаторика определяется как раздел математики, изучающий некоторые операции над конечными множествами. Основными задачами комбинаторики считаются следующие: 1) составление упорядоченных множеств (образование перестановок); 2) составление подмножеств данного множества (образование сочетаний); 3) составление упорядоченных подмножеств данного множества (образование размещений).
В Математическом энциклопедическом словаре (M.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 276) приводится следующее описание комбинаторики:
«Комбинаторный анализ, комбинаторная математика, комбинаторика — раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторики является изучение комбинаторных конфигураций, в частности вопросы их существования, алгоритмы построения, решение задач на перечисление. Примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения и сочетания; блок-схемы и латинские квадраты.
Возникновение основных понятий и развитие комбинаторики шло параллельно с развитием других разделов математики, таких, как алгебра, теория чисел, теория вероятностей, с которыми комбинаторный анализ тесно связан. Еще математикам Древнего Востока были известны формула, выражающая число сочетаний через биномиальные коэффициенты, и формула бинома Ньютона с натуральным показателем n. С мистическими целями изучались магические квадраты 3-го порядка. Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Эти труды, составляющие основу теории вероятностей, одновременно содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества.
Большой вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем, Я. Бернулли, Л. Эйлером. С 50-х годов XX в. интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики, дискретной математики, теории планирования и теории информации. На формирование направления исследований в дальнейшем оказывают влияние два фактора. С одной стороны, выбор объектов исследований, с другой — формулировка целей исследования, зависящая в конечном счете от сложности изучаемых объектов. Если исследуемая комбинаторная конфигурация имеет сложный характер, то целью исследования является выявление условий ее существования и разработка алгоритмов построения...»
Из всего многообразия вопросов, которыми занимается комбинаторика, в содержание образования старшей школы сегодня включается лишь теория соединений — комбинаторных конфигураций, называющихся перестановками, размещениями и сочетаниями. Причем обязательными для изучения являются лишь соединения без повторений — соединения, составляемые по определенным правилам из различных элементов. Типичными примерами задач на подсчет числа определенных соединений являются следующие:
1. Задача на подсчет числа перестановок из пяти элементов (Р5).
Сколькими способами можно расставить на полке пять различных книг? (Ответ. 120.)
2. Задачи на подсчет числа размещений из четырех по два ( A 4 2 ) .
1) Сколько существует вариантов назначения главного бухгалтера и его заместителя из четверых претендентов на эти должности? (Ответ. 12.)
2) Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 5, 6, 7, 8, используя каждую из них в записи не более одного раза? (Ответ. 12.)
3. Задача на подсчет числа сочетаний из четырех по два ( C 4 2 ) .
Сколько существует вариантов выбора двоих человек для участия в конференции из числа четверых претендентов? (Ответ. 6.)
Для подсчета числа соединений каждого вида с помощью правила произведения в этой главе выводятся формулы
P n =n!, A m n = m! (m−n)! , C m n = m! n!(m−n)! ,
где n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 1) · n — произведение первых n натуральных чисел; при этом доопределяются 1! = 1 и 0! = 1. Для учащихся (после знакомства с рассмотренными тремя видами соединений) при решении конкретной задачи основной проблемой становится подведение условия под конкретный тип соединения. Обычно задачи на подсчет числа перестановок учащиеся легко узнают. А отличать задачи на подсчет числа размещений от задач на подсчет числа сочетаний слабым учащимся часто бывает затруднительно. Учителю приходится нередко придумывать мнемонические подсказки для такой дифференциации. Например, чтобы учащиеся поняли, что размещения — это упорядоченные множества элементов, можно «привязать» термин размещения к словосочетаниям вида размещение (чего-либо; где-либо) по порядку. Эффективным для этой же цели бывает напоминание того, что перестановки — это частный случай размещений.
Решая прикладную (текстовую) комбинаторную задачу на подсчет числа соединений (без повторений), в первую очередь ученик должен выяснить — разные или одинаковые, по сути, получаются соединения, если поменять в них порядок расположения элементов.
Теория соединений с повторениями не является обязательной для рассмотрения даже в профильных классах, тем не менее мы считаем полезным в этих классах ввести понятие хотя бы размещений с повторениями, так как подсчет числа этих размещений может встретиться уже на первых уроках при решении задач на применение правила произведения. Типичным примером задачи на подсчет числа размещений с повторениями является следующая: «Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3?» (Ответ. 53 = 125.) В общем виде обосновать формулу для подсчета числа размещений с повторениями ( A ¯ m n = m n ) не составит труда и для учащихся общеобразовательных классов.
Знакомство с остальными соединениями с повторениями изложено в доступной форме и может быть рассмотрено с учащимися профильных классов при наличии времени. Доказательство же справедливости формул для подсчета числа перестановок с повторениями
( P ¯ n 1 , n 2 , ..., n m = n! n 1 ! n 2 !⋅...⋅ n m ! , где n= n 1 + n 2 + ...+ n m ) ,
и числа сочетаний с повторениями ( C ¯ m n = P ¯ m−1, n = (m+n−1)! (m−1)!n! ) следует рассматривать только с учащимися, интересующимися математикой, причем усвоившими применение метода математической индукции.
Дополнительной мотивацией рассмотрения, например, перестановок с повторениями является тот факт, что биномиальные коэффициенты C m k есть не что иное, как P ¯ k, m−k . Поэтому учащиеся, знакомые с понятием перестановок с повторениями, легко воспринимают вывод формулы бинома Ньютона.
Помимо правила произведения в комбинаторике основным считается и правило суммы, которое можно сформулировать следующим образом: «Если некоторый элемент можно выбрать n способами, а другой элемент можно выбрать m способами, то выбрать либо первый, либо второй элемент можно n + m способами». Однако при использовании правила суммы в данной формулировке необходимо следить за тем, чтобы ни один из способов выбора первого элемента не совпал с каким-либо способом выбора второго элемента (если такое совпадение имеется, то правило суммы нельзя применять, так как число способов выбора будет равно n + m − k, где k — число совпадений). Правило суммы в главе не рассматривается, так как решение задач на его применение (без специального знакомства с правилом) не вызывает затруднений даже у слабых учащихся. Приведем пример задачи, решаемой с помощью комбинаторного правила суммы: «В классе 10 девочек и 12 мальчиков. Сколькими способами из учащихся класса можно выбрать одного дежурного по столовой?» (Ответ. 22.)
Следует подчеркнуть, что с учащимися базового уровня не следует расширять перечень обязательных комбинаторных заданий. Вполне достаточно, если они научатся применять при решении задач комбинаторное правило произведения и не будут допускать ошибок при подведении фабулы задачи под нахождение соединений (без повторений) конкретного вида и найдут число этих соединений по формуле.
В результате изучения главы V все учащиеся должны уметь решать упражнения типа 5, 6, 9, 20, 23, 31, 32, 41, 42, 48, а учащиеся профильных классов — 15, 21, 24, 37, 49, 53, 69. |
