2000 год был объявлен Международным годом математики.
В мире прошли многочисленные конгрессы, а в научных и учебных центрах
состоялись различные мероприятия, посвященные математике. Эта дата
навела автора на новый вопрос:
можно ли представить число 2000 в виде суммы последовательных натуральных чисел?
Так появилась теорема о числах, которая ранее не была
известна автору этой книги и его коллегам. Год публикации первого
издания этой книги — 2010. Это число достаточно круглое, чтобы можно
было вновь задаться вопросом:
можно ли представить число 2010 в виде суммы последовательных натуральных чисел?
Оно не является суммой двух последовательных натуральных чисел:
2010 = 1005 +1005 = 1004 +1006.
Однако его можно представить как сумму трех или четырех последовательных чисел:
2010 = 669 + 670 + 671.
2010 = 501 + 502 + 503 + 504.
Можно ли представить любое натуральное число в виде
суммы последовательных натуральных чисел? Очевидно, что всякое
натуральное число можно представить как сумму одного последовательного
числа — самого себя. Запишем сумму k последовательных натуральных чисел:
(n + 1) + (n + 2) +… + (n + k) = k·n + (1 + 2 + … + k).
Сумма чисел в скобках рассчитывается по формуле из предыдущей главы:
В нашем случае:
С одной стороны, если k — четное, то 2n + k также будет четным, а 2n + k + 1 будет нечетным. С другой стороны, если k — нечетное, то k + 1 четное, и 2n + k + 1 также будет четным.
В любом случае один из множителей в знаменателе будет нечетным.
Следовательно, сумма последовательных чисел имеет как
минимум один нечетный делитель. Это означает, что в виде суммы
последовательных натуральных чисел можно представить только числа,
имеющие нечетный делитель. Так как у чисел, являющихся степенями 2, нет
нечетных делителей, имеем следующую теорему:
только числа, которые являются степенями 2, нельзя представить как сумму последовательных натуральных чисел.
Приведя подобные слагаемые в суммах последовательных чисел, увидим, откуда появляется этот нечетный множитель:
Если число слагаемых n нечетное, этим нечетным множителем будет n, если же число слагаемых n четное, то этим нечетным множителем будет 2n + 1. В любом случае один из сомножителей будет нечетным.
* * *
КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855)
Этот немецкий математик, который родился в
Брауншвейге и умер в Гёттингене, был вундеркиндом. Он получил хорошее
образование благодаря не отцу, а матери. Гаусс никак не мог решить, что
ему следует изучать — философию или математику. В начале весны 1796 года
он сделал выбор в пользу математики, и наука весьма благодарна ему за
это, так как Гаусс в итоге стал одним из величайших математиков всех
времен. Несомненно, на его решение повлиял тот факт, что в тот самый
весенний день ему удалось построить с помощью циркуля и линейки
правильный 17-угольник. Как математик Гаусс совершил много важных
открытий, но этим успехом он гордился больше всего — настолько, что
попросил высечь этот многоугольник на своем надгробии, на что мастер
возразил, что высечь эту фигуру будет очень сложно и ее будет почти
невозможно отличить от окружности.
Портрет Гаусса.
Этот немецкий математик доказал, что правильный 17-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки. |