В своей книге «Дух порядка. Исследование психологии
декоративных искусств» австрийский историк искусства Эрнст Гомбрих
описывает кельтские узлы. Их особенность заключается в том, что нить
проходит через все выделенные точки на каждой стороне сетки с
квадратными ячейками и возвращается в исходное положение.
Бесконечный узел — это узел, начало и конец которого совпадают:
Кельтские узлы не всегда являются бесконечными, или циклическими:
Возникает вопрос: почему одни узлы бесконечные, а
другие — нет? Перед тем как начать поиск ответа, рассмотрим, как
строятся такие узлы. Их основой является сетка с квадратными ячейками,
на сторонах которых выбирается последовательность точек, через которые
проходит нить узла:
За счет этого узлы можно описывать числом вершин на
каждой из сторон сетки, через которые проходит нить узла. Первый из
улов, представленных выше, — узел 3 x 2, второй — 3 x 3, последний — 6 x
4. Узел 3 x 2 располагается на сетке размером 6 х 4 и проходит через
вершины 1–3–3 в горизонтальных рядах и через вершины 1–3 — в
вертикальных рядах. Сетка 6 x 4 понимается как (1 + 2·2 + 1) х (1 + 2 +
1). Остальные узлы описываются аналогично. Узел 3 x 3 располагается на
сетке 6 х 6 = (1 + 2·2 + 1) х (1 + 2·2 + 1), узел 6 x 4 — на сетке 12 х 8
= (1 + 2·5 + 1) х (1 + 2·3 +1).
Можно сказать, что ответ на вопрос, будет ли узел
бесконечным, зависит от числа вершин, через которые проходит нить на
каждой стороне сетки. Узел 3 х 2 является бесконечным, так как образован
одной нитью. Узел 3 х 3 не является бесконечным, так как состоит из
трех нитей. Узел 6 x 4 также не является бесконечным и состоит из двух
нитей.
В чем же ключ к решению задачи? Нить смещается влево,
вправо, вверх и вниз. Если бы мы не ограничивались одним
прямоугольником, а продолжили узел дальше по вертикали и по горизонтали,
то смогли бы понять суть проблемы. Рассмотрим узел (3 х 2):
Мы начинаем с точки 1, затем, сместившись на две
единицы вправо, попадаем в 3, затем в 2 и наконец снова в 1. Получается
числовая последовательность, которая циклически повторяется до
бесконечности:
[1, 3, 2] = 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1…
На сетке размером (4 х 2) требуется два таких цикла:
В первом случае мы перепрыгиваем через две клетки.
Полный цикл завершается после шести шагов, когда мы возвращаемся в
исходную точку 1. Мы обошли все цифры 1, 2 и 3. Во втором случае для
обхода всех цифр требуется два цикла:
Почему? Потому что 4 делится на 2. Если мы начинаем
цикл в точке 1, то мы всегда будем проходить через точки 1 и 3 и никогда
— через 2 и 4. Для этого потребуется новый цикл с началом в точке 2. В
предыдущем случае цикл завершается после 6 = НОК (3, 2) этапов, и
требуется всего один цикл, так как НОД (3, 2) = 1.
Это же происходит и в примере с сеткой 6 x 4, где НОД
(6, 4) = 2 цикла, и на сетке 3 х 3, где число циклов равно 3 = НОД (3,
3). Подведем итог.
Теорема: На сетке размером (m, n) число циклов равно НОД (m, n).
Следствие 1: Если m и n — взаимно простые, то на сетке (m, n) имеется единственный бесконечный цикл.
Следствие 2: На сетке размером (m, n) число петель равняется 2 х (m + n).
|