Многие писатели прошлого и современности очень четко
передают математические идеи, объясняют их и сопровождают примерами, что
помогает лучше усвоить многие понятия и взглянуть на них по-новому.
Чтобы проиллюстрировать это, обратим внимание на два рассказа: один из
них принадлежит перу Хорхе Луиса Борхеса, второй — Итало Кальвино.
Большая часть творчества Борхеса посвящена
парадоксальным ситуациям и объектам, которые тем не менее настолько
логичны, что кажутся реальными: это пустыня, подобная лабиринту, где нет
ни дверей, ни проходов, здание библиотеки невероятно сложной планировки
и т. д. Описания подобных объектов в произведениях Борхеса содержат
отсылки к математическим идеям.
В «Книге песка» этот аргентинский писатель говорит о
книге с бесконечным числом страниц, при этом нельзя определить, какая из
страниц книги первая, какая — последняя. Можно сказать, что
бесконечность, описываемая Борхесом, является потенциальной и счетной,
так как все страницы книги пронумерованы натуральными числами. Страниц в
книге так много, что ее невозможно открыть еще раз на только что
прочитанной странице, — именно так писатель проводит различие между
конечным и бесконечным:
«Я наугад раскрыл книгу… Я обратил внимание, что на
четной странице стояло число, скажем, 40514, а на следующей, нечетной, —
999. Я перевернул ее — число было восьмизначным. На этой странице была
маленькая, как в словарях, картинка: якорь, нарисованный пером, словно
неловкой детской рукою.
И тогда незнакомец сказал:
— Рассмотрите хорошенько, вам больше никогда ее не увидеть.
В словах, а не в тоне, звучало предостережение.
Я заметил страницу и захлопнул книгу. И тут же открыл ее. Напрасно я искал, страница за страницей, изображение якоря…
<…>
— …Ее владелец не умел читать… Он объяснил мне, что
его книга называется Книгой Песка, потому что она, как и песок, без
начала и конца».
Если бы книга была конечной, то как бы много страниц в ней ни было (например, N),
вероятность снова открыть ее на определенной странице была бы
небольшой, но не нулевой. В бесконечной книге эта вероятность равна
нулю:
Страницы «Книги песка» вполне могли быть
пронумерованы натуральными числами: 1, 2, 3, … При такой нумерации книгу
нельзя было бы открыть на последней странице, но можно было бы открыть
на первой, однако в рассказе говорится, что у книги нет ни начала, ни
конца. В попытках найти начало или конец книги герою все время
попадались новые и новые страницы:
«Он попросил меня найти первую страницу. Я положил
левую руку на титульный лист и плотно сомкнутыми пальцами попытался
раскрыть книгу.
Ничего не выходило, между рукой и титульным листом всякий раз оказывалось несколько страниц. Казалось, они вырастали из книги.
— Теперь найдите конец.
Опять неудача; я едва смог пробормотать:
— Этого не может быть.
<…>
— Не может быть, но так есть. Число страниц в этой книге бесконечно.
Первой страницы нет, нет и последней. Не знаю, почему
они пронумерованы так произвольно. Возможно, чтобы дать представление о
том, что члены бесконечного ряда могут иметь любой номер. <…>
Если пространство бесконечно, мы пребываем в какой-то точке
пространства. Если время бесконечно, мы пребываем в какой-то точке
времени».
Так как в книге нет первой страницы, наша гипотеза о
натуральных числах ошибочна. На каком множестве чисел отсутствует первый
элемент? На множестве положительных рациональных чисел, то есть на
множестве конечных или периодических десятичных дробей. Это множество не
только бесконечное и счетное (его элементы можно сосчитать), но на нем
также нет первого и последнего числа, ведь первого положительного
рационального числа после нуля не существует. Если бы это число, назовем
его А, существовало, то мы всегда могли бы разделить его пополам и получить A/2 — положительное рациональное число, меньшее А:
0 < А/2 < A
Первым рациональным числом должно быть A/2. Но это вновь неверно, так как A/4 еще меньше, А/8
— еще меньше. Таким образом, между данным рациональным числом
(обозначающим первую страницу «Книги песка») и нулем (обозначающим
обложку книги) может уместиться бесконечно много рациональных чисел
(страниц книги). Мы можем пронумеровать страницы книги рациональными
числами, заключенными между 0 и 1. Но у нее не будет ни первой страницы,
ни последней.
Что хотел сказать Борхес, когда написал, что мы
находимся в одной из точек бесконечного пространства и времени?
Возможно, что мы не можем увидеть его концов или пределов. Если бы
пространство и время были конечными, можно было бы вести речь о
половинах, третях, соотношениях и расстояниях от концов, но если
пространство и время бесконечны, эти рассуждения теряют смысл.
То, что Борхес четко представлял себе бесконечность и
ее связь с различными измерениями пространства, становится очевидным
уже в начале рассказа: «Линия состоит из множества точек, плоскость — из
бесконечного множества линий; книга — из бесконечного множества
плоскостей; сверхкнига — из бесконечного множества книг…»
* * *
ХОРХЕ ЛУИС БОРХЕС (1899–1986)
Хорхе Луис Борхес — один из самых выдающихся
писателей XX века. Его произведения сложно привязать к какому-то
конкретному жанру: их в равной степени можно отнести к рассказам, эссе,
поэзии и фантастике. Фантазия Борхеса не лишена логики. В его рассказах
содержатся прекрасные и доступные описания научных и математических
идей, понятные широкой публике. К подобным произведениям относятся
«Вавилонская библиотека», «Фунес памятливый», «Аналитический язык Джона
Уилкинса» и «Сад расходящихся тропок». Некоторые считают, что в
последней Борхес предвосхитил некоторые открытия квантовой механики.
На реверсе аргентинской монеты достоинством в 2 песо, выпущенной в 1999 году в честь столетия со дня рождения Хорхе Луиса Борхеса, изображен лабиринт, упоминаемый во многих произведениях писателя.
* * *
В еще одном его произведении главную роль играют не числа, а измерения.
«Диск» — это короткий рассказ, в котором алчный
дровосек убивает зашедшего к нему путника, после чего много лет ищет
оброненный его жертвой магический диск — диск Одина, у которого всего
одна сторона:
«— Я иду путями изгнанника, но я король, ибо у меня есть диск. Показать тебе его?
Он разжал костлявый кулак. В нем ничего не было. Ладонь была пуста.
Только сейчас я вспомнил, что до этого он не разжимал его ни разу.
Пристально глядя на меня, он сказал:
— Можешь коснуться.
С некоторой опаской я дотронулся кончиками пальцев до его ладони.
Я почувствовал холод и увидел, как что-то сверкнуло. В
то же мгновение его пальцы сомкнулись. Я ждал. Незнакомец продолжал,
как если бы он говорил с ребенком:
— Это диск Одина. У него есть только обратная сторона. Подобного ему нет на всей земле. Пока я владею им, я король.
— Он из золота? — спросил я.
— Не знаю. Это диск Одина. И у него одна-единственная сторона».
У трехмерного диска три стороны. Две из них имеют
форму круга, третья — это полоса, их соединяющая, которую мы можем
развернуть в виде прямоугольника.
Двумерные предметы не имеют толщины. Математическое
творение Борхеса состоит в том, что он доказал, что у диска Одина нет
толщины, так как у него нет одной из боковых сторон. Дровосек никак не
может найти диск, потому что он, скорее всего, упал невидимой гранью
вверх. |