Древние греки считали, что если измерить величину а единицей измерения Ь, то дробь а/Ь будет мерой а. Иными словами, все, что можно измерить, имеет дробную меру, или, говоря современным языком, всякая мера эквивалентна рациональному числу и наоборот. К примеру, если отрезок имеет длину 70 см, а линейка — 20 см, то дробь 70/20 = 7/2 была мерой a, измеренной Ь. Так считали ученики пифагорейской школы. Но Гиппас из Метапонта (V век до н. э.) обнаружил, что измерить диагональ квадрата, выбрав в качестве меры его сторону, невозможно.

Подчеркиваем: не очень сложно, а именно невозможно.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Если d = a/b, то очевидно, что мы можем выбрать а и Ь так, что они будут взаимно простыми. Достаточно сократить дробь а/b. Теперь рассмотрим самый простой случай — квадрат с единичной стороной. Теорема Пифагора гласит, что d² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2, то есть (а/b)² = 2, или, если вы предпочитаете иной способ записи, а² = 2Ь².

Рассмотрим а подробнее. Если а четное, то b обязательно должно быть нечетным, так как мы предположили, что а и b взаимно простые. Так как а = 2р, предыдущее равенство примет вид (2р)² = 4р² = 2b², следовательно, 2р² = Ь², откуда следует, что b² (а следовательно, и Ь) четное. Но это невозможно, так как мы уже показали, что b должно быть нечетным.

Теперь предположим, что а нечетное. Тогда нечетным будет и a². Однако а² = 2Ь², и это означает, что а² четное, что противоречит нашей предпосылке. Как видите, получается нечто немыслимое, и первым это доказал пифагореец Гиппас.

Как известно, лучшее, что можно сделать, получив дурную весть, — это убить гонца. Ямвлих Халкидский восемь веков спустя утверждал, что пифагорейцы построили склеп, где должен будет упокоиться тот, кто откроет несоизмеримые величины. Существует несколько версий гибели Гиппаса. В самой милосердной версии он даже не упоминается и говорится лишь о том, что пифагорейцы принесли в жертву сто быков — столь велико было удивление, которое вызывали несоизмеримые величины. Так как пифагорейцы были вегетарианцами, эта гекатомба (что по-гречески и означает «сто быков») кажется возможной, но не слишком вероятной. В другой версии легенды Гиппас всего лишь был изгнан из пифагорейской школы. И в самом жестоком варианте он был сброшен в море с борта корабля. Как бы то ни было, вера пифагорейцев в истинность своего учения оставалась непоколебимой. Лишь Евдокс Книдский, открыв вещественные числа, смог разрешить загадку несоизмеримых величин.